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计量与数理的关系及分形维应用研究

2014/11/13 23:14:44  来源:计测网通讯员 
字号: 13号字 16号字

  【摘 要】在重点综述数学中抽象空间、物理学中能观测量和计量单位或单位制的相互关系基础上,探索并整理出各学科共同依赖的某些基本准则或公理,以便建立一个较为完整的广义科学框架或系统描绘现存的学科基石.在此基础上,为提供现有科学新的分类和启迪新的科学研究方法和探索自然奥秘提供新的综合手段达到抛砖引玉的目的.除此以外,作为近代数学对较复杂事物计量分析的应用例,提出微观粒子的太极模型分形维.

  数理知识无疑是各学科研究的基础,谁掌握得越充分、全面、正确,谁就更有希望在探索自然奥秘和发明、创造,乃至日常工作中获得成功.尽管成功有大有小,但每一次成功都离不开你的数理知识.这些知识可以在成长过程的日常生活和工作中积累,但大都是通过教学中学习的方法得到的.这也是现代人越来越注重接受教育的原因.人类活动积累的知识呈指数规律增长,其中不乏由知识的爆炸引发技术革命,促进知识的更新和进一步发展,永无止境.

  计量科学可以说与数理同时诞生、同步成长,它们之间的关系是相互促进、共同发展.为了探讨计量与数理的关系,先简要地回顾数理的近代进展.

  1 数学的近代进展

  从研究抽象形状规律的几何学和数字规律的代数学开始,数学的范围目前已经衍生出微分几何、泛函分析、拓扑、博弈、数理方程与特殊函数、高等代数、离散数学和数值分析、概率与统计、规划优化、逼近等许多分支,它们还在不断地发展着.数学知识被用于解决建筑、制图、测绘、加工、控制、生化、管理、游戏、编程和科学研究等众多实践活动中.我们注意到与计量学关系密切的数学知识,实际上就是与物理关系密切的数学知识,下面简略地分析一下近代物理进展.

  2 近代物理进展

  总体上物理学是对客观世界中自然或人工现象的研究.伽利略、牛顿、开普勒等早期物理学家兼数学家奠定了经典物理学的基石.尤其是牛顿对引力研究提出的物体运动定律一直到今天都是研究宏观物体运动的基础.在工程应用范围内,它能给出预期的确定结果.

  在对物质结构-微观世界的研究中,由普朗克、爱因斯坦、玻尔、薛定锷、海森堡、狄拉克等20世纪初期物理学家,在光电子、原子和原子核物理现象的研究基础上建立起量子力学.用到的数学知识主要是求解数理方程和由算符表示的线性代数方程.它们被函数论和高等代数包容.一部分近代物理问题涉及到张量、微分几何、群论和图论等数学知识.20世纪末和21世纪初,物理界对宇宙、生命、环境保护、纳米或亚纳米世界的兴趣显著增加.另外,随着微电子促进计算机的高速发展,使研究人员的计算工具和实验手段都有明显的提高,从而能求解一些虽然能建立模型但过去无法得出结果的物理问题.这中间包括大气湍流现象,研究中给出非线性微分方程洛伦兹吸引子和曼德布罗特(mandelbrot)自相似分形几何图形,以及在纳米科学中有关介于微观和宏观之间的中观(mesoscope)纳米结构的研究等,它们揭示了自然界中普遍存在的复杂性的一面.那么数理与计量究竟存在哪些特别引人注目的关系呢?

  3 数理与计量

  3.1 数域、物理域与计量域

  域,顾名思义是范围,之所以定义域是需要在某个范围内研究问题,得到的结果越普遍,它所适应的范围就越广.或者说可以在更大的范围内应用该结果.

  数学中的点(0维)、线(1维)、面(2维)、三维、四维……N维域都有定义.除了由维数定义的域外,同时有由不同类型的数构成的不同类型域,例如整数域(N)、实数域(R)、复数域(C)、随机数域等.从而数域就是类型和维数标记的范围.它是抽象的而且是本质的抽象.所谓本质抽象指已从物理中提取出来的数学抽象.

  物理域指客观存在的空间,这时的质点(0维)虽然不考虑类型但分别赋以质量、某时刻位置等物理参量,由质点构成的线性体(1维)、截面(2维)和块体(3维)同样有相应的物理参量.在运动学中主要研究时-空4维域中各类物理量的时变特征.当物理问题被抽象成数学问题或相应的物理问题被数学模型表示时,物理域也就转变成数域.例如,用欧氏空间表示的客观世界,其中常用的(x,y,z)笛卡儿坐标系、(r,θ,ψ)球坐标系和(r,θ,z)圆柱坐标系都是人们分析物理问题时,对应不同情况下,描述空间域的数学工具.计量域包含客观世界中所有可观测量,也就是可以凭人们自身的感觉器官、量测工具并辅以知识描述的方法和技术获得的可观测量信息的范围.它的作用使得客观现象的描述从定性分析向定量分析转化,而且获得的结果有一致性(其确定性由不确定度衡量)、可重复性,也就是说是科学的量化结果.

  3.2 数域、物理域与计量域的关系

  提出的数域、物理域与计量域的关系可以用图1表示.

  它形象地描述人们对客观世界认识的主过程,反映的两个主要认识途径分别为(1)由对客观世界的计量到;认识的途径,(2)各种非计量方式对客观世界认识的途径,例如人类特有的精神意志上的感知过程.其中包含在过程(1)中的数域和物理域研究是重要的基础性研究,而数字化技术使得两种过程之间的交流更方便.

  在计量域中,人们用量表示客观世界的特征.例如用空间坐标r表示点的位置,温度T表示物体的热力学状态、电荷q表示带电体的荷电状态、质量m表示物质和能量状态(它由爱因斯坦公式mc2表示)、加上基本的时间量t,这些基本的物理量构成的计量域几乎已能完整的描述目前已知的所有物理域中现象.或者说其它的物理量都是这些基本物理量组合演化后产生的结果.这里定义:非计量域为客观世界中存在的未知现象的特征和目前尚无法观测的量的全体.随着认知水平的提高,非计量域向计量域部分转化.

  3.3 连续性与离散性和物理空间与抽象空间

  客观世界中同时存在连续体和离散体,这里包括不同的对象或在不同条件下的同一对象.例如:宇宙中的星体与地球上的房屋都可视作一个离散体,而单个星球和房屋中的一块砖、一片玻璃则作为连续体来研究.测量一个班级40个同学的体温会得到40个数据,而在24 h内用记录模拟信号的温度计不间断地测量某个人的体温,就得到一条温度随时间变化的曲线.举这样明显的例子只是为了说明物理域、计量域和数域中也同时存在连续域和离散域.这里我们再举个例子来说明连续性和离散性的问题.那就是考古学家可以根据破碎的瓷片复原古代瓷器,刑检专家可以根据

  当事人的陈述描绘出嫌疑人的相貌,它们的共同点是根据被复原物的连续性条件、经验、知识加以复原的.缺乏这些连续性的条件、经验、知识,或者无法复原、或者产生非常大的误差.在数字化技术中由采样得到重现的结果也同样如此.因此对象的连续性是重构的必要条件.数学上对点集上的连续函数、函数的一致连续性是抽象空间的研究基础.它有[1]

  定义1 对于任何正数ε,都存在正数δ,使得

  当x∈E并且| x-x0|<δ时,就有| f(x)-f(x0) |<ε.或用极限描述为

  则称,f:E→R,E是R上的点集,{xn}为点列,x0∈E,f(x)在点x0连续.

  进一步引入距离这个既实际又抽象的概念是很重要的,它所以实际是人们已熟知物理上距离的概念而抽象空间中距离是在数学上对它作出下述定义:

  定义2 设X是任一集合.如果对于X中任意两个元素x与y,都对应一个实数ρ(x,y),并且满足条件:

  1)非负性,ρ(x,y)≥0且ρ(x,y)=0当且仅当x = y;

  2)对称性,ρ(x,y) =ρ(y,x);

  3)三角不等式,对任意的x,y,z∈X,有

  则ρ(x,y)称为x与y之间的距离,而X为距离ρ(x,y)的距离空间或度量空间[1].该定义将空间的基本距离特征抽象出来.建立在距离空间上的重要概念还有同胚映射或拓扑映射,有两个距离空间X和Y,而映射T:X→Y是一个双映射且T与T-1都连续,则称T是X到Y上的同胚映射或拓扑映射,如果X到Y上存在某一同胚映射,则称X与Y为拓扑同胚(1,p47).在此基础上由范数定义引出线性赋范空间与巴拿赫空间,以及由内积定义引出希尔巴脱空间.在希尔巴脱空间中H1和H2的同构性为

  定义3 H1和H2为两个内积空间,如果存在从H1到H2上的一一映射,使其保持线性运算及内积相等,即对任意x1,y1∈H1及两个数α,β均有

  则称内积空间H1和H2是同构的[1].重提上述数学上关于空间的基本定义,目的是为了理解近代物理学尤其是关于量子力学中问题求解时,对一些基本表象的变换,大都在希尔巴脱空间中实现,或者说希尔巴脱空间更接近我们的现实世界.狭义相对论和广义相对论是物理空间研究的典例.它们对牛顿力学做出重要修正.时间、质量对两个相对运动参考系中观察者不再恒定,弯曲的空间存在一个引力场.这些也是现代计量中必须重视的问题.或者说何时可以略去相对论影响,何时必须考虑它.

  3.4 物理能观测量与计量单位制

  现代控制理论提出能观测系统的概念,注意到能测量的物理量必定是能观测的,但是能观测的不一定都能直接测量出来[2],也就是说,某些状态变量,例如位移量超过二阶的导数不能直接用传感器测得(缺乏相应的硬件),但是可以用观测器(卡尔曼滤波器)观测到.而观测器实际上是主要部分由软件实现的某种预估加修正的算法,它可以由系统的输入、输出,给出原先不能测出的状态变量最佳估值,结构如图2.

  图3和图4分别表示观测器(卡尔曼滤波器)的结构和最优控制系统原理框图.

  它满足的方程组为

  其中已知数据为σ2w、σ2v、Φ、Zk+1,以及初始状态x0的估算x^0和方差σ20开始计算,最后给出当前预估值x^k+1,达到E(Δxk) =0和σ2= E[Δxk-E(Δxk)]2最小的要求.

  我们要着重指出的是从计量学观点看,随着计算和科学技术的发展,一些传统意义上无法直接由传感器硬件测量的物理量通过关联物理量信息数字化信号处理后,达到观测的目的.对它们的研究除了现有的计量单位和标准以外,尚需针对数字信号研究一些新问题.例如:数字信号的误差,动态物理量的标准等.目前这方面的研究是很薄弱的.

  3.5 测不准关系

  作为基准的计量单位的不确定度越来越小,例如时间频率定义的秒和长度单位米,不确定度已达到10-13~10-15量级.尽管如此,测不准关系依然成立.包含所有测量过程的计量分别向无穷大和无穷小两个方向开拓,或者说计量结果中的确定性位数也越来越高,但时变不可知因素或微观世界中海森堡测不准关系始终影响测量结果,而且这种影响越来越重要.它也是测量不确定性的自然原因.

  物理学中的几个基本常数,光速c、阿弗加德罗常数N0、普朗克常数h、电荷的荷质比q/m等,目前不确定度最小的是光速c,由它规定了米的定义.纳米技术的发展促使宏观世界与微观世界的通道逐渐变得明晰.纳米、亚纳米的检测技术使得一切在原子、分子级上研究从抽象变得更加形象,而且很快反映到工程技术中,促进了材料科学与工程、微机电加工和制造技术、生物、生命科学与工程等现代科学技术的发展.

  但是纳米技术的研究也对数理与计量提出新的要求.获得的原子或原子簇使数学上的点、线、面、体,微型化到物理上的若干个原子的质点、纳米丝、纳米膜、纳米团簇,也因此出现了许多待研究的物理现象,包括对现存物理框架下某些理论的实验研究和探索新的理论.这中间势必用到近代数学物理知识和科学实验手段.我们同时也相信这方面的研究也一定会进一步推动数理学科的进步.

  为了进一步说明近代数学与计量的关系,除了已周知的将分形用于几何量计量中表面粗糙度测量和小波分析用于信号处理以外[3-5],我们在下面提出微观粒子太极模型分形维,它的目的也是启示对某些复杂事物的新的计量特征是可以由近代数学知识提取出来的.

  4 微观粒子太极模型分形维

  参见图5太极模型分形维,该图直接表示由一微观粒子太极元模形分裂成两太极元的过程;其中,阴阳鱼开始时面积各为(设原圆面积为

  1),周长各为1(设原圆周长为1).

  第一次分裂后,显然有:阴阳鱼的面积各为,周长各为.通过一次分裂,完成了从1→2的演化.依次类推,二次分裂,三次分裂,……直至n次分裂,则分别完成22,23,……2n个新粒子的产生或增生过程.

  图5的分裂过程也可以用分形维的思想来解释.我们先来看一下柯曲折线:这是由瑞典数学家柯曲于1904年构造的魔线.称之为魔线是因为这条折线虽然处处连续,但处处不光滑,处处不可微,人们认为这类曲线变化多端,不好理解,难以掌握,排斥于传统几何学研究对象之外,故称之为魔线[6-10].构造这类曲线是从初始元出发,如取一条线段或一个源多边形.原则上是按一定规则变线段为折线,形成生成元,分形的结构也就确定了.柯曲折线的构造方法是这样的,如设E0是单位长度的线段,E1由E0舍去中间的线段,而改变成夹角为60°的两段等长(长度为原线段长度的)的折线.即在被舍弃的线段上形成等边三角形的两个边,这样E1包含4个线段.同样的操作舍弃方法对E1的每个线段就构造出E2.如此继续下去,以至无穷.对于第一级折线E1有:D(1)f=ln4/ln3,其中:D(1)f为一级分形维,分子上的4指的是所分折线的总段数,分母上的3指的是每段折线的长度的倒数,依次类推:第二级折线E2有:D(2)f=ln42/ln32=ln4/ln3┇第n级折线En有:D(n)f=ln4n/ln3n=ln4/ln3可见在分形的过程中,分形维没有发生变化,柯曲折线具有确定的分形维特征.

  下面我们对图5按分形维进行计算.

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